admin - 2008-7-7 12:34:00
Consider zones zi on a plane which consist of triangles. Zone z1 consists of two right-angled isosceles triangles, forming a square. Zone zn + 1 is produced from zone zn in the following way. For each triangle from the previous zone, construct two isosceles right-angled triangles on each of its two legs as a hypotenuse. Then, remove every triangle that is a part of a zone with lower number. The remaining triangles constitute the zone zn + 1.
Given an integer number n, find how many simple polygons constitute the zone zn.
InputThere is a single integer n (1 ≤ n ≤ 2000) on the first line of the input.
OutputOutput a single number — the number of simple polygons zone zn consists of.
Samples
Problem Author: Dmitry Gozman
Problem Source: Dmitry Gozman Contest 1, Petrozavodsk training camp, January 2007 答案如下：
1 using System;
2
3 namespace Skyiv.Ben.Timus
4 {
5 // http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1531
6 sealed class T1531
7 {
8 static void Main()
9 {
10 Console.WriteLine(Zones(int.Parse(Console.ReadLine())));
11 }
12
13 static BigInteger Zones(int n)
14 {
15 if (n == 1) return 1;
16 if (n == 2) return 4;
17 BigInteger z = 4, c = 2;
18 for (int i = 3; i <= n; i++, z += c) if (i % 2 != 0) c *= 2;
19 return z;
20 }
21 }
22 }
注意，这个程序使用了 BigInteger 类，请到我的另一篇随笔 Timus 1013. K-based numbers. Version 3 中查看其源代码。
这道题目是说，在平原上有若干三角形组成的区域 Zi。Z1 包含两个等腰直角三角形，组成一个正方形。Zn+1 由 Zn 按以下方法生成：以 Zn 中的三角形的直角边作为新的等腰直角三角形的斜边，然后再移去 Zn 中的三角形，剩下的三角形就组成了 Zn+1。现在要求计算 Zn 中包含多少个简单多边形。
为了找出其中的规律，我们继续画图，一直画到 n = 8，如右图所示。然后在右图中数出 Zn 来，如下：
1, 4, 8, 12, 20, 28, 44, 60
我们发现，该数列后项减前项为：
3, 4, 4, 8, 8, 16, 16
除了第一个数 3 以外，其余各数依次为：
22, 22, 23, 23, 24, 24
这样，我们就得到以下递推公式 ( [x] 表示对 x 进行下取整 )：
Z1 = 1, Z2 = 4, Zn = Zn-1 + 2[(n+1)/2] (n > 2)
有了递推公式，写出相应的程序就非常容易了。由于 Z2000 ≈ 4.286 x 10301，所以程序中使用 BigInteger 类进行计算。
Given an integer number n, find how many simple polygons constitute the zone zn.
InputThere is a single integer n (1 ≤ n ≤ 2000) on the first line of the input.
OutputOutput a single number — the number of simple polygons zone zn consists of.
Samples
| input | output |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 12 |
Problem Source: Dmitry Gozman Contest 1, Petrozavodsk training camp, January 2007 答案如下：
1 using System;
2
3 namespace Skyiv.Ben.Timus
4 {
5 // http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1531
6 sealed class T1531
7 {
8 static void Main()
9 {
10 Console.WriteLine(Zones(int.Parse(Console.ReadLine())));
11 }
12
13 static BigInteger Zones(int n)
14 {
15 if (n == 1) return 1;
16 if (n == 2) return 4;
17 BigInteger z = 4, c = 2;
18 for (int i = 3; i <= n; i++, z += c) if (i % 2 != 0) c *= 2;
19 return z;
20 }
21 }
22 }
注意，这个程序使用了 BigInteger 类，请到我的另一篇随笔 Timus 1013. K-based numbers. Version 3 中查看其源代码。这道题目是说，在平原上有若干三角形组成的区域 Zi。Z1 包含两个等腰直角三角形，组成一个正方形。Zn+1 由 Zn 按以下方法生成：以 Zn 中的三角形的直角边作为新的等腰直角三角形的斜边，然后再移去 Zn 中的三角形，剩下的三角形就组成了 Zn+1。现在要求计算 Zn 中包含多少个简单多边形。
为了找出其中的规律，我们继续画图，一直画到 n = 8，如右图所示。然后在右图中数出 Zn 来，如下：
1, 4, 8, 12, 20, 28, 44, 60
我们发现，该数列后项减前项为：
3, 4, 4, 8, 8, 16, 16
除了第一个数 3 以外，其余各数依次为：
22, 22, 23, 23, 24, 24
这样，我们就得到以下递推公式 ( [x] 表示对 x 进行下取整 )：
Z1 = 1, Z2 = 4, Zn = Zn-1 + 2[(n+1)/2] (n > 2)
有了递推公式，写出相应的程序就非常容易了。由于 Z2000 ≈ 4.286 x 10301，所以程序中使用 BigInteger 类进行计算。